На главную Новости Статьи Гостевая книга Галерея Ссылки


Элементарная механика

Минимум законов механики необходимых для обоснования космических проектов.


1. Закон инерции. Относительность движения и покоя

Закон инерции гласит. Если на звездолет не действуют никакие силы, то звездолет движется равномерно и прямолинейно. Поскольку в реальном космосе на звездолет всегда действуют силы, то состояние равномерного и прямолинейного движения реализуется только условно, когда действием этих сил можно пренебречь. Именно так, равномерно и прямолинейно движется звездолет вдали от звезд в чистом пространстве.

Частный случай равномерного и прямолинейного движения - пребывание в состоянии покоя в реальном космосе не реализуется никогда. Поскольку состояние покоя может быть установлено только относительно внешнего тела, выбор которого совершенно формален и которое само движется относительно других тел. Кроме того, все тела обладают свойством искривлять пространство, что заставляет звездолет двигаться относительно выбранного тела и состояние покоя все равно не реализуется.

Последнее не надо путаться состоянием относительного покоя звездолета в системе двух тел, когда внешние силы уравновешены (состояние покоя в точке Лагранжа).

В космонавтике часто под состоянием относительного "покоя" понимается состояние, когда звездолет находиться на стационарной орбите вокруг некого небесного тела и движется только под действие силы притяжения. В этом случае звездолет совершает движение по окружности с постоянной скоростью, оставаясь на заданном расстоянии от центрального тела.

2. Законы равномерного движения или движение с постоянной скоростью

Путь s пройденный звездолетом за время t при движении с постоянной скоростью равен:

s = V·t.       (1)

Выражение (1) может быть определением скорости движения звездолета

V = s/t.       (2)

Скорость при равномерном движении численно равна пути пройденному звездолетом за единицу времени. Скорость звездолета величина векторная, поскольку имеет значение не только величина скорости, но и её направление. Кроме того, понятие скорости имеет смысл только относительно выбранного тела. В качестве такого тела отсчета принимается Солнце, другая звезда или планета. Путь и время всегда исчисляются относительно внешней системы отчета, так как собственное время звездолета может отличаться от времени измеренного на Земле. Основанием для однозначных измерений пути и времени является универсальная константа - скорость света в условно чистом межзвездном пространстве:

с = 299 792 км/с.

3. Движение звездолета под действием силы

Если пренебречь другими силами, то в свободном пространстве на звездолет может действовать только сила тяги его двигателей. В реальном пространстве на звездолет действуют силы притяжения небесных тел, которые возникают из-за гравитационного искривления пространства, и сила сопротивления межзвездной среды.

Если на звездолет действует сила, звездолет движется ускоренно (замедленно), а траектория движения может быть прямой или кривой линией в зависимости от направления действия силы относительно вектора скорости звездолета.

4. Прямолинейное равноускоренное движение без начальной скорости

Если на звездолете включены двигатели и за равные интервалы времени пройденные пути увеличиваются, то звездолет движется ускоренно. Скорость движения постоянно увеличивается. Ускорением называется величина, которая показывает насколько изменилась скорость за единицу времени:

a = (V2 - V1)/t.       (3)

Аналогично ускорению звездолет может замедляться, это означает движение с отрицательным ускорением.

Частный случай ускоренного движения - равноускоренное (равнозамедленное) движение. При таком движении ускорение постоянно. Ускорение также векторная величина.

Путь пройденный при равноускоренном движении с того момента, когда начало действовать ускорение:

s = a·t2/2.       (4)

Скорость при движении из положения покоя

V = a·t.       (5)

Если исключить время, то путь и скорость при движении с постоянным ускорением связаны следующим соотношением:

V2 = 2·a·s. (6)

5. Прямолинейное равноускоренное движение с начальной скоростью

Если звездолет уже имел начальную скорость V0, то в приведенных формулах её надо или прибавить или вычесть. Без учета знака формулы выглядят так:

s = (V0 + V)·t/2       (1a)

s = V0·t + a·t2/2       (4a)

V = V0 + a·t       (5a)

V2 = V02 + 2·a·s       (6a)

6. Основной закон динамики
Если не звездолет действует сила, то звездолет движется ускоренно (замедленно) или по кривой траектории при этом звездолет испытывает ускорение равное силе деленной на массу тела (второй закон Исаака Ньютона, конец XVII начало XVIII века).

a = F/m.       (7)

      7. Силы в космосе

В космосе на звездолет могут действовать три силы. Сила притяжения других небесных тел, если ракета находится рядом с таким небесным телом или телами и сила тяги реактивных двигателей и сила сопротивления среды. В первом приближении притяжением от удаленных небесных тел и другими силами, таким как сопротивление межзвездной среды, мы пренебрегаем.

Сила притяжения между небесными телами описывается формулой Ньютона:

F = γ·m·M/R2,       (8)

где γ - гравитационная постоянная, равная 6.672·10-11 м3/(кг·с2); m и M - массы тел; R - расстояние между телами. Под действием гравитационных сил меньшее тело, например звездолет, движется относительно более массивного тела по криволинейным траекториям. Форма траектории зависит от относительной скорости меньшего тела. При больших скоростях звездолет движется по параболе или гиперболе и в итоге пролетает мимо притягивающего тела, если только его траектория не проходить в критической близости от диска небесного тела. При небольших скоростях звездолет движется вокруг центрального тела по эллипсу. Окружность является частным случаем эллипса.

В дальнем космосе под действием силы тяги реактивных двигателей звездолет движется прямолинейно и ускоренно. Все тела внутри звездолета, в том числе и человек, испытывают силу тяжести, которая равна ускорению, умноженному на массу тела: Р = а·m.

Если ускорение, с которым движется звездолет больше чем ускорение свободного падения на Земле, то человек испытывает перегрузку, которую по традиции измеряют в ускорениях свободного падения на Земле где g = 9.81 м/с2. Частный случай ускоренного движения не вызванного работой двигателей - свободное падение на некое небесное тело. Здесь ускорение gг определяется силой притяжения на данном расстоянии от центра масс:

gг = γ·M/R2,      (9)

где М - масса притягивающего тела, R - расстояние между центром тела и звездолетом. При свободном падении тело находиться в состоянии невесомости. Также в состоянии невесомости находиться тело при движении по орбите вокруг притягивающего тела, когда на тело не действуют больше ни какие силы кроме сил тяготения.

В том случае если тело находиться на поверхности планеты, тело испытывает силу называемую весом, который зависит от ускорения свободного падения на поверхности планеты, тогда в формуле R - радиус планеты. В этом случае тело весит: Р = gг·m. При взлете с планеты на звездолет и все тела, находящиеся внутри действует сила, которая складывается из силы тяги и веса тела. В результате при вертикальном взлете с планеты человек испытывает вес равный сумме ускорений силы тяжести и силы тяги, умноженные на массу тела: Р = m(gг + gт).

Сила тяги Fт реактивных двигателей равна произведению скорости истечения реактивной струи vр умноженной на секундный расход массы топлива q:

Fт = vр·q.       (10)

Формально ускорение, которое получит звездолет, определяется по формуле (7), где справа стоит сила тяги, но масса не является постоянной величиной. Так как при реактивном движении ракета непрерывно выбрасывает реактивную струю. Поэтому для определения скорости, которую получит ракета, применяется формула Циолковского, где учитывается уменьшение массы тела ракеты:

V = vp·ln(mo/mк),       (11)

V - конечная скорость ракеты после выключения двигателей, здесь mo - начальная масса, mк - конечная масса ракеты, ln - натуральный логарифм.

Масса израсходованного топлива, очевидно равна mo - mк = mт.

Из формулы Циолковского видно, что конечная скорость будет тем больше чем больше скорость истечения реактивной струи vp и чем больше из общей массы корабля будет израсходовано топлива.

Однако формула Циолковского в таком виде применима только для относительно невысоких скоростей. Для субсветовых скоростей необходима обобщенная формула Циолковского, которая учитывает релятивистские эффекты.

Если обозначить отношение скоростей vk/c = β, где vk - конечная скорость, с - скорость света. Также обозначим с/(2·vp) = α.

Тогда обобщенная формула Циолковского:

mk/mo = (1 - β)α /(1 + β)α ,       (12)

Движение звездолета на планетарной скорости описывается формулой (11) при разгоне до субсветовых скоростей надо пользоваться формулой (12). Критерий vk/c = β <<1.

8. Движение по окружности

Звездолет может двигаться по окружности, только если он уже движется с начальной скоростью и на него действует постоянная сила направленная перпендикулярно направлению движения. Это может быть сила притяжения или сила создаваемая самим звездолетм, например в результате истечения реактивной струи. Время одного оборота называется периодом Т.

Скорость движения по окружности V направлена по касательной к траектории и связана с силой действующей на звездолет F соотношением

F = m·V2/R,       (13)

 здесь m - масса тела, R - радиус кривизны траектории или в случае движения по окружности радиус окружности.

Одновременно на звездолет, движущееся по окружности, действует ускорение

а = V2/R = 4π2R/T2.       (14)

9. Орбитальное движение тела

В случае орбитального движения тела сила F определяется законом тяготения Ньютона (8). Приравнивая (8) и (13) и сокращая массу тела и лишний радиус, получим:

V2 = γ·M/R.       (15)

Из выражения (15) определяется как называемая первая космическая скорость. Величина γ·M = К является постоянной для данного притягивающего тела. Для Солнца К = 1.33·1011 км32, для Земли К = 4·105 км32.

Формула (15) позволяет вычислить скорость орбитального движения тела на заданном расстоянии от центра притягивающего тела. В частном случае R = Rp + H, где Rp - радиус планеты, а H - высота орбиты. При взлете с планеты и для выхода на орбиту эту же скорость необходимо сообщить кораблю выше атмосферы параллельно поверхности планеты.

Вторая космическая скорость или скорость убегания определяется из выражения :

V = V·(2)1/2.      (16)

Из формул (8) (13) и (14) можно установить связь между периодом орбитального вращения и радиусом орбиты

Т = 2π·R3/2/K1/2.       (17)

Отсюда видно, что период обращения планеты или корабля однозначно определяется только радиусом орбиты и массой центрального тела.

10. Релятивистские эффекты

Эффекты, связанные с высокими скоростями движения тел, начинают проявляться, когда скорость тела приближается к скорости света.

В формуле учитывающей релятивистские эффекты входит отношение скорости тела v к скорости света, как и ранее, обозначим β = v/c.

1. Замедление времени. Часы в звездолете идут медленнее, чем часы оставленные на Земле.

2. Масса звездолета увеличивается.

3. Длина звездолета по наблюдениям со стороны уменьшается.

Формула для замедления времени звездолета, движущегося с ускорением несколько сложна, так как использует гиперболические функции, поэтому приведу только формулы для звездолета движущегося с постоянной скоростью.

Корабль движется относительно Земли и интервал времени по корабельным часам Δtк окажется больше чем интервал времени Δtз на Земле они связаны соотношением:

Δtз = Δtк /(1 - β2)1/2.       (18)

Больший интервал времени в звездолете как раз и означает замедлении хода часов, как будто маятник на корабле качается медленнее. В итоге на Земле пройдет свое время, а астронавты отметят меньший интервал своего времени. Отсюда следует известный парадокс близнецов.

В заключении еще три формулы, учитывающие релятивистские эффекты.

Для удобства в формулах используются внесистемные единицы измерения.

L = 5(μ + μ-1 - 2)/а,       (19)

L - расстояние в св. годах на которое улетит звездолет двигаясь с постоянным ускорением а [м/с2], μ = mo/mk, отношение начальной массы к конечной массе.

Длительность полета на участке разгона измеренное по часам земного наблюдателя:

tз = 5(μ + μ-1)/a,       (20)

И время измеренное по часам корабля

tк = 22·ln(μ)/a.       (21)

В двух последних формулах время выражено в годах, ускорение в м/с2.

11. Это тот минимум знаний по физике, который позволяет делать многие численные оценки космических путешествий.

Marsmet, 2007 г.

Hosted by uCoz